下方階乗ベキで表示した多項式について

(編集中)
整数 $x \ge 0$ の多項式 $A(x)$ が次式で与えられているとする：
(1) $A(x) = \alpha_{0} x^{\underline{0}} + \alpha_{1} x^{\underline{1}} + \cdots + \alpha_{n-1} x^{\underline{n-1}}$

前進差分

(1) $A(x)$ の1階前進差分は
$\begin{eqnarray}\Delta A(x) &=& A(x+1) - A(x)\\ &=& \sum_{j=0}^{n-1}(\alpha_{j}(x+1)^{\underline{j}} - \alpha_{j}x^{\underline{k}})\\ &=& \sum_{j=0}^{n-1}\alpha_{j}\left\{(x+1)x^{\underline{j-1}} - (x - (j - 1))x^{\underline{j-1}}\right\}\\ &=& \sum_{j=0}^{n-1}\alpha_{j}jx^{\underline{j-1}}\\ &=& \sum_{j=1}^{n-1} \alpha_{j}jx^{\underline{j-1}}\end{eqnarray}$

(2) $A(x)$ の2階前進差分は
$\begin{eqnarray}\Delta^2 A(x) &=& \Delta A(x+1) - \Delta A(x)\\ &=& \sum_{j=1}^{n-1}\alpha_{j}j\left\{(x+1)^{\underline{j-1}} - x^{\underline{j-1}}\right\}\\ &=& \sum_{j=1}^{n-1}\alpha_{j}j(j-1)x^{\underline{j-2}}\\ &=& \sum_{j=2}^{n-1}\alpha_{j}j(j-2+1)x^{\underline{j-2}}\\ &=& \sum_{j=2}^{n-1}\alpha_{j}j^{\underline{2}}x^{\underline{j-2}}\end{eqnarray}$

自然数 $k < n$ に対して， $A(x)$ の $k-1$ 階前進差分が次式で与えられていると仮定する．
(3) $\Delta^{k-1} A(x) = \sum_{j=k-1}^{n-1}\alpha_{j}j^{\underline{k-1}}x^{\underline{j-(k-1)}} = \sum_{j=k-1}^{n-1}\alpha_{j}j^{\underline{k-1}}x^{\underline{j-k+1}}$
このとき， $A(x)$ の $k$ 階前進差分を求めると
(4) $\begin{eqnarray}\Delta^{k} A(x) &=& \Delta^{k-1}A(x+1) - \Delta^{k-1}A(x)\\ &=& \sum_{j=k-1}^{n-1} \alpha_{j}j^{\underline{k-1}}\left\{(x+1)^{\underline{j-k+1}} - x^{\underline{j-k+1}}\right\}\\ &=& \sum_{j=k-1}^{n-1} \alpha_{j}j^{\underline{k-1}}(j-k+1)x^{\underline{j-k}}\\ &=& \sum_{j=k}^{n-1} \alpha_{j}j^{\underline{k}}x^{\underline{j-k}}\end{eqnarray}$
となるから，任意の自然数 $k < n$ について，(4) が成立する．

係数

上記 (4) より， $\Delta^{k}A(0) = \alpha_{k}k^{\underline{k}}$ だから，
(5) [tex:\alpha_{k} = \frac{\Delta^{k}A(0)}{k^{\underline{k}}}\hspace{20}(k