下方階乗ベキについて

勉強 数学

定義

自然数x，k \le xについて，xのk次下方階乗ベキをx^{\underline{k}}と書いて，次式で定義する．

\begin{eqnarray}x^{\underline{k}} &=& (x - 0)(x - 1)\cdots(x - (k - 1) + 1)(x - k + 1)\\ &=& \prod_{j=0}^{k - 1} (x - j)\\ x^{\underline{0}} &=& 1\end{eqnarray}

性質

x^{\underline{k}}の定義から直接導かれる性質としては，次がある．

(1) [tex:\begin{eqnarray}(x + 1)^{\underline{k}} &=& \prod_{j=0}^{k-1} *1\\ &=& (x + 1)\prod_{j=1}^{k-1} (x - (j - 1))\\ &=& (x + 1)\prod_{j=0}^{k - 2} (x - j) \\ &=& (x + 1)x^{\underline{k - 1}}\end{eqnarray}]

(2) \begin{eqnarray}x^{\underline{k+1}} &=& \prod_{j=0}^{k}(x - j)\\ &=& (x - k)\prod_{j = 0}^{k-1}(x - j)\\ &=& (x - k)x^{\underline{k}}\\ &=& (x - (k + 1) + 1)x^{\underline{k}}\end{eqnarray}

前進差分

(1)，(2) と前進差分の定義より，x^{\underline{k}}の1階前進差分は
(3) [tex:\begin{eqnarray}\Delta x^{\underline{k}} &=& (x+1)^{\underline{k}} - x^{\underline{k}}\\ &=& (x+1)x^{\underline{k-1}} - (x-(k-1))x^{\underline{k-1}}\\ &=& *2x^{\underline{k-1}}\\ &=& kx^{\underline{k-1}}\\ &=& (k-1+1)x^{\underline{k-1}}\\ &=& k^{\underline{1}}x^{\underline{k-1}}\end{eqnarray}]

\Delta x^{\underline{k}}の1階前進差分をx^{\underline{k}}の2階前進差分といい\Delta^{2} x^{\underline{k}}とかく．
(4) \begin{eqnarray}\Delta^{2} x^{\underline{k}} &=& \Delta kx^{\underline{k-1}}\\ &=& k\Delta x^{\underline{k-1}}\\ &=& k(k-1)x^{\underline{k-2}}\\ &=& k(k-2+1)x^{\underline{k-2}}\\ &=& k^{\underline{2}}x^{\underline{k-2}} \end{eqnarray}

ここで，自然数j \le kに対して，x^{\underline{k}}のj-1階前進差分が
\Delta^{j} x^{\underline{k}} = k^{\underline{j-1}}x^{\underline{k-(j-1)}} = k^{\underline{j-1}}x^{\underline{k-j+1}}
で与えられていると仮定し，x^{\underline{k}}のj階前進差分を求めると
(5) \begin{eqnarray}\Delta^{j} x^{\underline{k}} &=& \Delta k^{\underline{j-1}}x^{\underline{k-j+1}}\\ &=& k^{\underline{j-1}}\Delta x^{\underline{k-j+1}}\\ &=& k^{\underline{j-1}}(k-j+1)x^{\underline{k-j}}\\ &=& k^{\underline{k-j}}x^{\underline{k-j}}\end{eqnarray}
となるため，任意の自然数j \le kに対して (5) が成立する．

*1:x + 1) - j)\\ &=& \prod_{j=0}^{k-1} (x - (j - 1

*2:x+1) - (x-k+1