自然数の分割 - ドレッシングのような

次の問題は、僕が数年前に数で遊んでて発見したものなんだけど、絶対書籍に載ってると思って探し続けている。といっても、ほとんど探せていない状況なので、知ってる人がいたら教えてください。この性質について数の専門家の見解が知りたい。

ある自然数 $n$ について $n = ab$ と置く。このとき、 $x = a^b$ が最大となる $a > 0$ を求めなさい。

仮定より $b = {n \over a}$ だから $x = a^{n\over a}$ 。

両辺の対数をとって $\log x = {n \over a}\log a$ 。

両辺を $a$ で微分すると ${d \over da}\log x = {d\over da}({n \over a}\log a) = {n \over a^2}(1 - \log a)$ となる。

仮定より、 $\log x$ は上に凸だから、 ${d \over da}\log x = 0$ となる $a$ が解である。

右辺=0 とおくと $1 - \log a = 0$ より $a = e$ となる。

従って、 $x$ は $a$ がネイピア数 $e$ のとき最大となる (これは $n$ に依存しない性質である)。