有名な3の倍数の性質に関する定理 - ドレッシングのような

定理

$n$ 桁の10進位取り記数法で表示された数 $d_{n-1}\dots d_1d_0$ ( $d_i \in \{0, 1, \dots, 9\}$ , $0 \leq i < n$ ) に関して次が成立する:
$\sum_{k=0}^{n-1} d_k \equiv 0 \pmod{3} \Rightarrow \sum_{k=0}^{n-1} 10^kd_k \equiv 0 \pmod{3}$ ．

証明

仮定より、任意の整数 $a$ が存在し、次が成立する．
$\sum_{k=0}^{n-1} d_k = 3a$ ．
これより
$d_{n-1} = 3a - \sum_{k=0}^{n-2} d_k$ ．
であるから，
$\begin{align}\sum_{k=0}^{n-1}10^k d_k &= 10^{n-1}\times\left(3a - \sum_{k=0}^{n-2} d_k\right) + \sum_{k=0}^{n-2} 10^k d_k\\ &= 3\times10^{n-1}a - \sum_{k=0}^{n-2}(10^n - 10^k)d_k\\ &= 3\times10^{n-1}a - \sum_{k=0}^{n-2}(10^{n-k}-1)\times10^k d_k\\ &= 3\times10^{n-1}a - \sum_{k=0}^{n-2}(\underbrace{9\dots9}_{n-k-1})\times10^k d_k\\ &= 3\times\left(10^{n-1}a - \sum_{k=0}^{n-2}(\underbrace{3\dots3}_{n-k-1})\times10^k d_k\right)\end{align}$

となるので，数 $d_{n-1}\dots d_1d_0$ は3の倍数となる．

補足

全く同じ方法で
$\sum_{k=0}^{n-1} d_k \equiv 0 \pmod{9} \Rightarrow \sum_{k=0}^{n-1} 10^kd_k \equiv 0 \pmod{9}$
も証明できる．